Hans-Georg Steiner (Hrsg.)

Mathematik - Philosophie - Bildung

Rafael Capurro

  
 
 

Rezension von Hans-Georg Steiner (Hrsg.): Mathematik - Philosophie - Bildung. Köln: Aulis Verlag Deubner, 1982, 275 S. (ID-Reihe: Untersuchungen zum Mathematikunterricht; Bd. 4). Erschienen in Zentralblatt für Didaktik der Mathematik 1983/3, 129-135.


Einleitung

H.-G. Steiner hat als Herausgeber des vorliegenden 4. Bandes der Schriftenreihe "Untersuchungen zum Mathematikunterricht" des Instituts für Didaktik der Mathematik (IDM) der Universität Bielefeld fünfzehn Beiträge, die gewissermaßen den Stand der bundesrepublikanischen Forschung im Querschnittsgebiet Mathematik - Philosophie - Bildung wiedergeben, vorgelegt.

Vor dem Hintergrund, daß in neueren Lehrplänen für die Sekundarstufe 1 der Philosophie eine größere Bedeutung zukommt, werden in diesem Band Fragen des Verhältnisses von Mathematik/Informatik und Philosophie in der Sekundarstufe 2 schwerpunktmäßig erörtert. Ferner wird versucht die Frage zu beantworten, welche Bedeutung philosophische Standpunkte zur Mathematik für die Entwicklung von Curricula und Unterrichtsentwürfen haben.

Die Didaktik eines Faches hängt entscheidend von seinem "Wesen", d.h. von seiner Bestimmung ab. Eine solche Bestimmung ist zunächst immer eine vorwissenschaftliche. Wenn wir aber über diese Bestimmung reflektieren, dann wird sie zu einer philosophischen. Demnach liegen dem hier zu besprechenden Band folgende Fragen zugrunde:
  • welche Auswirkung hat die moderne wissenschaftstheoretische Reflexion auf die Bestimmung der Mathematik und der Informatik?
  • welche didaktische Konsequenzen ergeben sich aus einer veränderten Auffassung vom "Wesen" der Mathematik?
  • wie stellt sich von hier aus die curriculare Frage nach dem Verhältnis von Mathematik, Informatik, Philosophie?
Die Behandlung dieser Fragen setzt ihrerseits die Reflexion über den konkreten empirischen Verlauf der Mathematik und ihrer bisherigen Bestimmungen voraus. Eine solche Reflexion ist sowohl eine mathematik- als auch eine philosophiegeschichtliche. Adressaten der vorliegenden Beiträge sind also zugleich Mathematiker bzw. Mathematiklehrer, Informatiker und Philosophen. Einige der Beiträge enthalten umfangreiche Quellenverzeichnisse und können als "review"-Artikel bezeichnet werden. Das ist z.B. bei dem 80 Seiten umfassenden mit 217 Literaturnachweise enthaltenden Aufsatz des Herausgebers mit dem Titel: "Zur Entwicklungsgeschichte des philosophischen Unterrichts unter besonderer Berücksichtigung der Beziehungen zur Mathematik" sowie bei dem Beitrag von H.N. Jahnke, M. Otte und G. Schubring zum Thema "Mathematikunterricht und Philosophie" (zuerst erschienen im ZDM 9, 1977, S. 60-69) mit einer 70 Titel umfassenden Bibliographie der Fall.

Die unsystematische Anordnung der fünfzehn Beiträge macht es dem Leser schwer, die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der einzelnen Positionen zu erkennen und sich mit deren Hilfe ein Urteil zu bilden. Obwohl die Vielschichtigkeit der Thematik und ihrer Behandlung keine einfache Zuordnung unter einem systematischen Raster zuläßt, lassen sich m.E. gewisse Schwerpunkte erkennen. Die folgende Anordnung versucht eine gewisse Systematik, unter Hinweis auf die erwähnten Grundfragen, dieser Besprechung zugrunde zu legen:
  1. Geschichtliche Aspekte des philosophischen und mathematischen Unterrichts und ihrer Zusammenhänge
  2. Wissenschaftstheoretische Ansätze in Mathematik und Mathematikdidaktik
  3. Zur Kritik wissenschaftstheoretischer Ansätze in Mathematik und Mathematikdidaktik
  4. Zum Verhältnis von Mathematik, Informatik und Philosophie in historischer, wissenschaftstheoretischer und didaktischer Sicht.

1. Geschichtliche Aspekte des philosophischen und mathematischen Unterrichts und ihrer Zusammenhänge

Die bereits erwähnte umfassender Beitrag von H.-G. Steiner behandelt die Entwicklungsgeschichte des philosophischen und mathematischen Unterrichts in vier Abschnitte: 1) Umriß der Entwicklung von der Antike bis zum 19. Jahrhundert; 2) Die Entwicklung in Deutschland bis 1945; 3) Die Entwicklung in Deutschland bis 1945; 4) Die Entwicklung in Westdeutschland bzw. in der Bundesrepublik seit 1945. Die letzten drei Abschnitte bilden den Schwerpunkt der Darstellung, wobei der Autor weder auf die nationalsozialistische Periode noch auf die Entwicklung in der DDR eingeht.

Im ersten Abschnitt weist der Vg. zunächst auf die ursprünglichen Zusammenhänge von Philosophie und Mathematik im (später "enkyklisch" genannten) Lehrplan in Griechenland und insbesondere bei Platon hin. Stichwortartig wird auf die Schrumpfung des "Quadriviums" zu einem Fach sowie auf den Vorrang des "Triviums" im frühen Mittelalter eingegangen, eine Entwicklung, die im deutschen Bildungswesen "bis in das 19. Jahrhundert erhalten geblieben ist". Im 18. Jh. prägen vor allem Chr. Wolff, H.A. Ernesti und J. M. Gesner den philosophischen und mathematischen Unterricht im deutschen Bildungswesen.

Im zweiten Abschnitt geht der Vf. insbesondere auf die von Humboldt und Suvern eingeleitete Reform des Gymnasiums in Preußen ein. Die Mathematik nimmt dabei einen wichtigen Platz ein. Steiner trägt detailliert die unterschiedlichen  Einflüsse auf die Gestaltung des Gymnasialunterrichts vor, die von Schleiermacher, Bernhardi, Herbart, Hegel, Paulsen u.a. ausgehen, und die sich z.B. in ministeriellen Verordnungen und den Verhandlungen der Direktorenkonferenz niederschlalgen.

Anfang des 20. Jh., so der Vf. im dritten Abschnitt, findet eine durch Paulsen beeinflußte Wiederbelebung des Philosophieunterrichts statt. Dabei verlangen Mathematiklehrer und Lehrer der Naturwissenschaften immer mehr nach einer philosophischen Propädeutik ihrer Fächer. Der Vf. geht insbesondere auf die Richtersche Reform und ihre Kritiker ein. 1933 stellt sich der der 1891 gegründete "Verein zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts" auf die Dienste der NS-Ideologie ein. Der Philosophieunterricht wird abgeschafft.

Im vierten Abschnitt  wird die Entwicklung in Westdeutschland bzw. in der Bundesrepublik nach 1945 beschrieben. Das Für und Wider eines eigenständigen Philosophieunterrichts spiegelt sich in den Stellungnahmen von Ausschüssen und Arbeitsgruppen wider. Eine völlig neue Situation für das Schulfach "Philosophie" ergibt sich erst 1976/77 durch die Realisierung der Bonner Vereinbarung der KmK von 1972 über die reformierte Oberstufe: demnach kann Philosophie als Grund- oder Leistungsfach gewählt werden. Der Vf. beschreibt die daraus entstandene Arbeit an Lehrplänen, Prüfungsanforderungen usw. in den einzelnen Bundesländern. Dabei bleiben große Diskrepanzen in den Beziehungen zum Mathematikunterricht bestehen. Der Vf. stell einen Mangel an "die Fachimmanenz überschreitenden reflektorischen Elementen" (S. 64) in den Lehrplänen und Kursen zur Mathematik in den gymansialen Oberstufe fest und plädiert für eine enge Verbindung philosophischer, wissenschaftstheoretischer und -geschichtlicher Inhalte im Mathematikunterricht sowie für die Einbeziehung der Informatik, wie das z.B. im Kollegschulversuch in Nordrhein-Westfalen geschieht. Der Mathematikunterricht dürfte demnach dem Schüler bei der Reflexion über die soziale Dimension von Wissenschaft verhelfen.

Mit dieser geschichtlichen Darstellung begründet also der Verfasser das Verhältnis von Mathematik und Philosophie als ein erneut, wie etwa in der Antike aber auch im deutschen Bildungswesen des 18., 19. und beginnenden 20. Jahrhunderts, eng aufzufassendes Verhältnis. In bezug auf die Mathematik wird dieses enge Verhältnis so angedeutet, daß im Mathematikunterricht "reflektorische Elemente" miteinbezogen werden sollten.Um welche Elemente handelt es sich dabei konkret? Welche wissenschaftstheoretischen Argumente lassen sich von mathematischer und mathematikdidaktischer Seite für bzw. gegen ein solches enges Verhältnis her bringen? Inwiefern trägt die Einbeziehung der philosophischen Dimension in den Mathematikunterricht der Philosophie Rechnung? Auf diese bereits zu Beginn dieser Rezension gestellten Fragen bezieht sich die folgende Diskussion.

2. Wissenschaftstheoretische Ansätze in Mathematik und Mathematikdidaktik

Was gehen Begründungs- und Entwicklungsfragen des mathematischen Wissens den Mathematiklehrer an? Unter dieser Frage könnte man den von H.N. Jahnke, M. Otte und G. Schubring verfaßten Aufsatz "Mathematikunterricht und Philosophie" stellen. Der Mathematiklehrer ist, im Gegensatz zum "normalen Forscher", ein "wissenschaftlicher Revolutionär" im Sinne Th. s. Kuhns. Er vermittelt nicht, so die Autoren im ersten Teil des Aufsatzes, ein abgeschlossenes Wissensgebiet bzw. dessen "fundamentale Ideen", sondern die Problematik dieser Begriffe. Im Gegensatz aber zur Popperschen Wissenschaftstheorie, die die Entwicklungsfrage einseitig hervorhebt, betonen die Vf., daß Entwicklung und Begründung der fundamentalen Begriffe der Mathematik nicht zu trennen sind. Aber auch die Betonung der Begründungsproblematik in der Vergangenheit wird als einseitig herausgestellt. Die Mathematikdidaktik interessieren ferner diese methodologischen Fragen nicht "an sich", sondern in ihrem Zusammenhang mit dem Lernenden: das Wissen ist hier untrennbar von der Art und Weise, wie es genutzt bzw. ausgedrückt wird. Die entscheidende Frage ist die nach der Beziehung zwischen "Subjekt" und "Wissen". Hiermit heben die Autoren eine andere einseitige Vorstellung der Wissenschaftstheorie, nämlich die eines "Wissens ohne erkennendem Subjekt" (Popper) auf. Von einem solchen Selbstverständnis von Mathematik aus gesehen, braucht der Mathematiklehrer dasjenige "metatheoretisches Wissen", das seiner Wissenschaft zugrundeliegt. Ein solches Wissen lernt er durch eine Analyse der Geschichte der Mathematik. Wie läßt sich aber, fragen die Vf., eine solche wissenschaftshistorische und -theoretische Perspektive in der Lehrerausbildung und im mathematischen Unterricht verwirklichen? Zwei Sachgassen werden zunächst genannt: erstens, Darstellung der Wissenschaftsgeschichte als Heldengeschichte oder Anekdotensammlung und zweitens, eine ideologiekritische Sicht, wonach der Wissenschaftsprozeß als durch Herrschaftswissen bestimmt entlarvt wird. Letzteres heißt nicht, daß der soziale Aspekt vernachlässigt werden sollte. Die Schulmathematik ist ja eine Art und Weise, wie die Gesellschaft Einfluß auf die Wissenschaft übt. Die Geschichte der Schulmathematik kann aber wiederum nicht ohne Beziehung zur Mathematikgeschichte analysiert werden. Die gängige Interpretation eines einseitigen Einflusses der Entwicklung mathematischer Kenntnisse auf den Unterricht lehnen die Vf. ab. Es ist eher umgekehrt: das Selbstverständnis der Mathematik wird von schulmathematischen Auffassungen "stark beeinflußt" (S. 151). Diese These über den Zusammenhang von Schulmathematik und wissenschaftlicher Mathematik wird im zweiten Teil behandelt.

Die weite Verbreitung der Mathematik, insbesondere im 19. Jh., brachte neue Formen der Explikation, der Normierung und der Systematisierung mit sich. Auch der damalige Aufschwung der Universitäten hängt mit der gesteigerten Bildungsanforderungen zusammen. Die von Humboldt geforderte Einheit von Forschung und Lehre findet ihren Niederschlag in der Einheit von Mathematik und Mathematikausbildung. In der Zeit von 1800 bis 1860 entsteht die Schulmathematik als eine Disziplin. Mathematik wird in den Gymnasien platonisch aufgefaßt und deren bildende Funktion auf die niederen Schulen projiziert und auf ihre elementarsten Operationen reduziert. Die Mathematikauffassung unserer heutigen Gymnasien, so die Vf., ist ein direktes Erbe dieser Entwicklung. Das wird am Beispiel der Kontroverse zwischen Laufgwitz und Steiner bezüglich des Wertes der axiomatischen Methode für den Gymnasialunterricht gezeigt.

Im dritten Teil des Aufsatzes schließlich zeigen die Autoren die Bedeutung metatheoretischer Orientierungen und sozialer Einflüsse während der Zeit von 1800 bis 1860 auf die Schulmathematik. Die Auseinandersetzung zwischen einem pädagogisch-genetischen und einem platonisch-formalen Vorgehen wird am Beispiel der Behandlung der "Elemente" von Euklid als Schulbuch im 19. Jh. in Preußen und England dargelegt. Die zunehmende Bedeutung dieses Buches als Schulbuch, die in eine Art Alleinherrschaft gipfelte, zeugt von der Vorherrschaft des platonisch-formalen Vorgehens. Nicht zuletzt hier hat das Prüfungswesen eine, wie die Autoren zeigen, wichtige Rolle gespielt.

Mit diesen Thesen begründen die Autoren wissenschaftstheoretisch die Notwendigkeit von Begründungs- und Entwicklungsfragen im Mathematikunterricht. Die Vorherrschaft einer dieser beiden Aspekte stellt eine einseitige, das "Wesen der Mathematik verzerrende Auffassung dar. Es bleibt hier allerdings offen, inwiefern die Berücksichtigung dieser Fragen der Philosophie im ganzen Rechnung trägt. Diese kommt deutlicher zum Ausdruck in den kritischen Ansätzen, die im nächsten Abschnitt besprochen werden. Aber zunächst sollen noch weitere wissenschaftstheoretische Argumente für ein enges Verhältnis von Mathematik und Philosophie erörtert werden.

K. Wuchterl zieht in seinem Beitrag: "Die neuesten wissenschaftstheoretischen Entwicklungen und ihre Auswirkungen auf die Philosophie der Mathematik sowie deren didaktische Realisierungen" eine positive Bilanz der Auswirkungen der neueren Wissenschaftstheorie auf Mathematik und Mathematikunterricht. Mit dem Stichwort "pragmatische Wende" faßt er die Auseinandersetzung zwischen K. Popper und Th. S. Kuhn bezüglich der Frage nach der natur des wissenschaftlichen Fortschrittes zusammen. Mit Kuhn, so der Vf., löst sich die Wissenschaft von fixierten bzw. dogmatischen methodologischen Grundsätzen und begreift sich pragmatisch bzw. instrumentell.

Die Auflösung der Vorstellung von Wissenschaft als ein methodologisch fixiertes Unternehmen wird von P. Feyerabend radikalisiert. Eine erste didaktische Folgerung dieser Entwicklung sieht der Vf. in der Beurteilung von Schulbüchern, die meistens nur einen verstellenden, praxisfernen und idealisierenden Eindruck des realen Forschungsgeschehens wiedergeben.

Wie wirkt sich die Wissenschaftstheorie im Sinne Kuhns und Feyerabends auf die Mathematik aus? Wuchterl zieht Schlußfolgerungen sowohl in bezug auf die reine als auch auf die angewandte Mathematik. Mathematische Sätze, sagt der Vf. im Anschluß an Wittgenstein, beschreiben (meistens) nichts, sondern sind als Darstellungsregeln bzw. als normativ anzusehen. Die pragmatische Wende in der Wissenschaftstheorie läßt sich bereits bei Wittgenstein finden, der Wissenschaft immer in einer bestimmten Gemeinschaft und in dem von ihr akzeptierten bzw. entworfenen "Sprachspiel" verankert sieht. Die angewandte Mathematik ihrerseits stellt sich nicht als einen notwendigen, sondern als einen durch hermeneutische und heuristische Komponenten gekennzeichneten Weg dar.

Während die "alte" Position die Mathematik durch Allgemeinverbindlichkeit, methodische Universalität und Objektivität kennzeichnete, wird sie von der "neuen" pragmatischen Position als ein spezielles Hilfsmittel (unter anderen) angesehen, deren Akzeptanz von einer bestimmten "Sprachspielgemeinschaft" bzw. Forschergemeinschaft abhängig ist. Welche didaktische Konsequenzen ergeben sich daraus? Drei Beispiele werden aufgeführt: 1) Der Versuch, den Mengenbegriff zu einem Grundbegriff der Grundschulmathematik zu machen, die gesamte Mathematik also auf eine (logische) Grundlage zu reduzieren, ist fragwürdig; 2) dementsprechend auch der (ähnliche) Versuch des Bourbakismus, die strukturelle Zusammengehörigkeit aller mathematischen Gebilde aufzuzeigen; und 3) die auf Piaget basierende didaktische Konzeption von Dienes. Der Vf. plädiert für die Vermittlung der methodischen Vielfalt der thematisierten mathematischen Bereiche, die als geschlossene Einheit didaktisch aufbereitet werden sollten. Das synchronische bzw. statische Erscheinungsbild der Mathematik in den Schulbüchern stellt nur eine Seite der Struktur dieser Wissenschaft dar. In der Praxis des Mathematikunterrichts sollte die "Normalwissenschaft" nicht ideell-dogmatisch, sondern als ein spezifisches Instrument zur Bewältigung von Lebenssituationen vermittelt werden.

Wuchterl unterstreicht also die Notwendigkeit einer veränderten Auffassung der Mathematik und somit auch des Mathematikunterrichts. Ähnlich wie Jahnke, Otte und Schubring betont er, daß die bisherige "ideell-dogmatische" Auffassung der Mathematik durch eine genetisch-praktische ergänzt (nicht ersetzt) werden sollte. Das Verhältnis von Mathematik und Philosophie wird als ein eigenes gesehen, was aber wiederum nach Wuchterl nicht heißt, daß die Mathematiklehrer Philosophie unterrichten sollen, wohl aber, daß sie die philosophischen Grundlagen dieser Wissenschaft im Unterricht behandeln sollten.

Die Aufsätze von G. Pickert ("Verbindung von Mathematik und Philosophie im Unterricht der Sekundarstufe II: Beispiele aus Wissenschaftstheorie und Logik"), R. Fischer ("Einige Ansätze zur Philosophie im Mathematikunterricht"), R. Bichler und H. Steinbring ("Bernouillis Theorem: Eine 'Erklärung' für das empirische Gesetz der großen Zahlen?"), P. Damerov ("Anmerkungen zum Begriff 'Abstrakt' - Philosophiegeschichtliche und mathematikdidaktische Aspekte") und H. Mehrtens ("Bemerkungen zur pragmatischen Philosophie, Sozial- und Ideengeschichte der Mathematik am Beispiel der Entstehung der Verbandstheorie") enthalten konkrete Beispiele, die das Verhältnis von Mathematik und Philosophie im Unterricht veranschaulichen.

Schließlich ist in diesem Zusammenhang auch der Beitrag von H. Pfeiffer: "Beiträge der neueren Wissenschaftssoziologie zu einer Konzeption der sozialen Organisation von Wissen im Mathematikunterricht" zu erwähnen. Pfeiffer sieht in der neueren wissenschaftstheoretischen (Lakatos/Kuhn) und wissenschaftssoziologischen Diskussion (Merton/Kuhn) "einen wertvollen Beitrag zu einer Konzeption der sozialen Organisation von Wissen im Mathematikunterricht" (S. 275).

Hiermit schließen wir die Vorstellung der Beiträge ab, die ausgehend von einer veränderten Bestimmung des "Wesens" der Mathematik die entsprechenden didaktischen Schlußfolgerungen ziehen. Bei dieser veränderten Bestimmung kommt die philosophische Dimension dieser Wissenschaft zum Vorschein, die möglichst ausdrücklich im Mathematikunterricht behandeln werden sollte. Diese didaktische Schlußfolgerung und ihre wissenschaftstheoretische Begründung werden in den folgenden Ansätzen in Frage gestellt.


3. Zur Kritik wissenschaftstheoretischer Ansätze in Mathematik und Mathematikdidaktik

A. Schreiber, W. Oberschelp und F. Kümmel stehen den angesprochenen wissenschaftstheoretischen Ansätzen und ihren didaktischen Konsequenzen kritisch gegenüber, wobei F. Kümmel etwa eine vermittelnde Position annimmt.

A. Schreibers "Anmerkungen zum Verhältnis von Mathematik und Empirie" stellen nicht nur die Behandlung von Metatheorien im Mathematikunterricht, sondern auch die Anwendung des Falsifikationismus in der Mathematik (Lakatos' und Poppers') in Frage. So ist z.B. das "Problem" der potentiellen heuristischen Falsifikation in der Mathematik, nach Schreiber, kein echtes Problem, da es sich hier eher um ein "subjektives Präferenzspiel" handelt. Die Kritik des Fundamentalismus in der Mathematik führt nicht notwendigerweise zum "Quasi-Empirismus" von Lakatos, sondern dieser setzt eher die Übernahme einer bestimmten Grundlagenposition voraus. Das Problem des Erkenntniswachstums, sagt ferner der Vf., wird unnötig dramatisiert. Der (mathematische) Wissensfortschritt hängt nicht nur von neuen Erkenntnissen ab, die durch das Lösen von Problemen gewonnen werden, sondern genauso wichtig ist das Ordnen bzw. Neuordnen des bereits Genutzten. Schließlich unterstreicht Schreiber die genetischen Aspekte der mathematischen Begriffsbildung. Fazit: eine dynamische Auffassung der Mathematik ist nicht an eine quasi-empirische Methodologie gebunden. Diese ist ja sogar wenig förderlich gegenüber z.B. einem "weitgehend neutralen genetischen Verständnis von Prozessen der Begriffsbildung".

Der Beitrag von W. Oberschelp: "Über mathematisches und philosophisches Argumentieren" stellt nicht nur eine weitere Kritik des Verhältnisses von Mathematik und Wissenschaftstheorie bzw. Philosophie dar, sondern der Vf. wendet sich ausdrücklich gegen eine Integration der Philosophie als Unterrichtsfach in den mathematischen Unterricht. Dieses wird mit der unterschiedlichen Natur der mathematischen und philosophischen Argumentationsmethoden begründet. Die mathematische Argumentationsweise ist durch die Methode der (inner-mathematischen) Verifikation gekennzeichnet. Davon unterscheiden sich, laut Oberschelp, sowohl die empirische Verifikation der Naturwissenschaften als auch die Adäquatheitstests bei der Anwendung mathematischen Modelle in der Praxis. Ein Korrelat der Verifikation findet der Vg. in der Philosophie nicht, so daß eine gemeinsame Behandlung beider Vorgehensweisen als nicht geeignet erscheint. Bezüglich der heuristischen Argumentationsweise ("ars inveniendi") lassen sich zwar gewisse Gemeinsamkeiten mit der Philosophie zeigen, aber der gravierende Unterschied besteht darin, daß mathematische Vermutungen unter dem Verifikationsprinzip stehen. Auch die Beweismethodik ("ars iudicandi") ist in Mathematik und Philosophie unterschiedlich: die (von Voraussetzungen zu Behauptungen) progressive Beweismethodik fehlt in der Philosophie, sofern diese sich nicht als eine deduktive axiomatische Wissenschaft versteht. Die regressive Argumentationsform, d.h. der Weg von Behauptungen zu Voraussetzungen, erbringt erst "echte Bezüge"" zwischen mathematischer und philosophischer Argumentation. Die Kuhnsche Vorstellung "revolutionärer Veränderungen" ist nur sehr bedingt auf die Mathematik anwendbar. Eine neue mathematische Theorie, z.B. die Riemansche Geometrie, ist nicht "richtiger" als eine alte, z.B. die Euklidische Geometrie. Auch der Forderung der Lorenzen-Kambartel-Schule, eine normative Wissenschaftstheorie und somit ethische Prinzipien auch in der Mathematik einzuführen, steht der Vf. kritisch entgegen, da er die "Methodendiskrepanz" zwischen Philosophie und Mathematik für eine prinzipielle hält. Schließlich läßt sich auch die Praxisrelevanz der Mathematik nicht nach der Kuhn-Wittgensteinschen-Theorie der Praxis angemessen behandeln, zumal Mathematik, nach dem Verständnis des Vf., nicht auf zufällige Konventionen von Sprachspielen basiert, sondern ein systematisches Fach ist.

Inwiefern die philosophische Vorstellung einer "mathesis universalis" auf einer "kritischeren Basis" als es bei Schlick ("Einheitswissenschaft") und Carnap ("logischer Aufbau der Welt") der Fall war, gestellt werden kan, ist eine offene Frage, die zugleich auf eine gemeinsame Aufgabe von Mathematik und Philosophie hinweist. Diese Aufgabe darf nicht, so der Vf., durch die "praktische" Philosophie zurückgedrängt werden. Der Vg. befürchtet, daß aus den dargestellten Gründen die Verbindung von Mathematik und Philosophie im Unterricht zu einer Verstellung der wirklichen Aufgaben des Mathematikunterrichts führen kann.

Eine vermittelnde Position zwischen den Befürwortern und den Kritikern der Integration von Philosophie bzw. Wissenschaftstheorie in Mathematik und Mathematikunterricht findet man im Beitrag von F. Kümmel: "Philosophie im Rahmen der curricularen Struktur der Kollegschule NW. Eine kritische Stellungnahme". Für Kümmel stellt die Verbindung von Mathematik und Philosophie in einem Schwerpunkt eine Vorentscheidung, "hinter die nicht zurückgegangen werden kann", dar (S. 106). Dennoch sollte man die Zuordnung "nicht zu eng nehmen" (S. 107). Der Autor führt historische, inhaltliche und didaktische Argumente bzw. Gegenargumente auf, die die Relativität einer einseitigen Position zeigen, so Waren z.B. in der Antike Philosophie und Mathematik eng verbunden, während sich in der Gegenwart eine Abspaltung des formalen Denkens von seinen philosophischen Zusammenhängen zeigt und die Idee einer "mathesis universalis" bisher im einzelnen nicht nachgewiesen wurde. Auch der gemeinsame formale Charakter von Mathematik und Philosophie findet einen Gegenzug in philosophischen Problemen, die auf rein formaler Basis nicht behandelt werden können. Hierbei beruft sich der Vf. auf seine Erfahrungen als Philosophiedozent: "Das überwiegende Bedürfnis an Philosophie geht nicht primär auf formales Denken im Sinne der analytischen Philosophie, sondern auf Fragen des Selbstverständnisses und der Weltorientierung, auf Dimensionen und Perspektiven des eignen Handelns" (S.111). Ein wichtiger Grund also, die Verbindung zwischen Philosophie und Mathematik "nicht zu eng" zu nehmen.
Von hier aus entwickelt der Vf. seine Auffassung von Philosophie, die er im Zusammenhang mit dem "Alltag" und der "Wissenschaft", also im Sinne der "hermeneutisch-geisteswissenschaftlichen Tradition" mit ihren historischen und phänomenologischen Interpretationsmethoden und ihre Ausrichtung auf anthropologische Fragen verstanden wissen will. Die logisch-empirischen und die sprachphilosophisch-ästhetischen Philosophietraditionen bilden das breite Profil dieser "Fächer", das nicht eingeengt werden sollte. "Die Philosophie wird für das zu entwickelnde Schwerpunktprofil in die Kursprogramme eingeführt und ausgelegt als "Reflexionswissenschaft", genauer als "Reflexion im Spannungsfeld von Wissenschaft und Alltag": Philosophie zielt im Spannungsfeld von Wissenschaften und Alltag auf übergreifende Sinnzusammenhänge, Normenfragen, Selbstbewußtsein und Weltanschauung, letztlich auf Aufklärung des Menschen über sich selbst" (S. 112-113). Mit "Reflexion" meint der Vf. u.a. "aufbrechen von Spezialisierungen", was nicht mit "vagen Bedeutungsfeldern", sondern mit "begrifflich ausgearbeiteten Denkmodellen" (S. 114) geschieht.
An dieses Konzept anknüpfend legt der Vf. folgende Themenbereiche für ein Fach Philosophie in den Jahrgangsstufen 11-13 der Gymnasien vor (S. 119ff.):
11.1 Philosophie, Wissenschaft und Alltagswelt
11.2 Erkenntnis der Wirklichkeit
12.1 Der Mensch in seiner Welt
12.2 Menschliche Kommunikation und Sprache
13.1 Vertiefung eines der vorangegangenen Kurse
13.2 Theorie und Praxis

Zusammenfassend können wir also feststellen, daß die von der modernen Wissenschaftstheorie ausgehende Bestimmung der Mathematik kontrovers ist. Die Analogisierung von Mathematik und empirischen Wissenschaften (z.B. Lakatos' "Quasi-Empirismus") unterstreicht die Notwendigkeit einer von der Mathematik selbst ausgehenden Reflexion. Der Versuch, philosophische und mathematische Argumentationsmethoden so eng wie möglich aufeinander zu beziehen, mit de didaktischen Konsequenz der Integration von Philosophie- und Mathematikunterricht, übersieht nicht nur gravierende Unterschiede formaler Art zwischen beiden Fächern, sondern schränkt unzulässigerweise das breite Selbstverständnis von Philosophie ein. Diese Kritik sollte dennnoch m.E. nicht dazu führen, jene Gemeinsamkeiten bzw. Schnittpunkte zwischen Mathematik und Philosophie zu übersehen, die sich nicht zuletzt aus einer sich noch im Entwicklungsstadium befindenden Neubestimmung der Mathematik ergeben. Aber auch eine breite Auffassung von Mathematik wird nie das gesamte Feld der Philosophie umfassen. Für den Schüler ist weder die Inflation der Mathematik noch die Verkrüppelung der Philosophie von Vorteil. Bei aller Kritik der neuen wissenschaftstheoretischen Fundierungsversuche und bei aller Aufklärung über die wesentlichen Unterschiede zwischen mathematischen und philosophischen Argumentationsmethoden wird in diesen Ansätzen trotzdem die Notwendigkeit betont, philosophische Fragen der Mathematik im Mathematikunterricht zu behandeln bzw. im Philosophieunterricht darauf hinzuweisen.
Eine ähnliche Problematik stellt sich, wenn im Verhältnis zwischen Mathematik und Philosophie noch die Informatik miteinbezogen wird.


4. Zum Verhältnis von Mathematik, Informatik und Philosophie in historischer, wissenschaftstheoretischer und didaktischer Sicht

Drei Autoren behandeln eingehend das Verhältnis von Mathematik, Informatik und Philosophie, nämlich K. Mainzer: "Wissenschaftsgeschichte und Philosophie der Mathematik und Informatik", W. Oberschelp: "Zum Verhältnis von Mathematik, Informatik und Philosophie" und M. A. Meyer: "Überlegungen zur curricularen Verbindung von Mathematik und Philosophie im Kollegschulversuch".

K. Mainzer geht davon aus, daß eine Schwerpunktbildung "Mathematik - Philosophie - Informatik" an der Schule der Fundierung durch entsprechende wissenschaftstheoretische Untersuchungen über die geschichtlichen Zusammenhänge dieser Wissenschaft bedarf. Die bisherige Wissenschaftstheorie hat sich aber bisher schwerpunktmäßig mit der Untersuchung von Theorienentwicklungen in den Naturwissenschaften beschäftigt. Ähnliche Untersuchungen in der Mathematik sind bisher "nur vereinzelt", in der Informatik "fast gar nicht" (S.252) vorhanden. Die bisherigen von I. Lakatos und Th. S. Kuhn vorgeschlagenen Modelle haben aber in diesen Fächern  "bestenfalls orientierenden Charakter". Anhand von drei Beispielen zeigt der Vf. zum einen die enge Verzahnung von Mathematik- und Philosophiegeschichte und zum anderen die daraus sich ergebende Möglichkeit eines gemeinsamen curricularen Schwerpunkts. Beim ersten Beispiel handelt es sich um die Euklidische und Cartesische Geometrie. Mainzer weist auf die lange gemeinsame Geschichte von Geometrie und Philosophie hin. Im mathematischen heuristischen Prozeß spielen, so Mainzer, erkenntnispsychologische Voraussetzungen eine wichtige Rolle. Diese sind wiederum nicht vom isolierten Forscher her zu verstehen, sondern wie Kuhn es genannt hat, von "traditions of puzzle solving", von Paradigmen also bzw. schulischen Traditionen. So ließe sich die Einführung der analytischen Methode im Unterricht studieren, wobei hier offen bleibt, ob es sich bei Descartes um einen Paradigmenwechsel "großen Ausmaßes" handelt.

Das zweite Beispiel betrifft projektive Geometrie. Differentialgeometrie und lineare Algebra im 19. Jh. Hier greift der Vf. zunächst auf Kant und auf die Entwicklung im 18. Jh. zurück, in der Physik und Mathematik institutionell und durch die Person der einzelnen Wissenschaftler verbunden waren. Lehrstühle für "reine" Mathematik entstehen erst im 19. Jh. herbart und Steiner in Deutschland, Monge und Poncelet in Frankreich tragen zur Verselbständigung und Institutionalisierung der Mathematik bei. Gleichzeitig aber wird die Euklidische Geometrie durch neue Theorien (Grassmann, Gauss, Riemann) erschüttert. Solche Entwicklungen können im Hinblick auf ihre Ursachen (z. B. Erstarken, und vermutlich auch Erstarrung, empirischer Naturphilosophie) im Unterricht analysiert werden. Verbindungen zwischen Philosophie, Mathematik und Geschichte sind hier nicht nur interessant, sondern auch fruchtbar.

Das dritte Beispiel betrifft die Entwicklung der Informatik im 20. Jh. Diese Entwicklung hängt bekanntlich mit der wachsenden Nachfrage nach Computern in den letzten Jahrzehnten zusammen. Die Informatik selbst steht am Schnittpunkt zweier Traditionen: der ingenieurwissenschaftlichen und der formalwissenschaftlichen. Der Vf. verweist auf die Forschungsprogramme (insb. "Manhattan"-Projekt) der 40er Jahre, die eine neue Art der Bewältigung von Forschungsproblemen, nämlich durch gute Theorien und eine arbeitsteilige Organisation der Forschung, mit sich brachten.
Die Informatik als Wissenschaft der systematischen, insbesondere automatischen Verarbeitung von Informationen mit Hilfe von Digitalrechnern, entwickelte sich als eigenständige Wissenschaft aus solchen Forschungsprogrammen.

Der bereits besprochene Aufsatz von W. Oberschelp behandelte die methodologischen und didaktischen Bedenken des Verfassers bezüglich einer Verbindung von Philosophie mit Mathematik bzw. Mathematikdidaktik. Der folgende Beitrag unterstreicht diese These und betont ferner, daß die institutionelle Bindung von Mathematik- und Informatik-Unterricht "so eng wie möglich" sein sollte, während "eine solch enge Bindung zum Philosophie-Unterricht eher skeptisch beurteilt" wird  (S. 249). Der Autor plädiert sogar für die Abschaffung der Philosophie als Schulfach bei gleichzeitiger Einführung "bei jeder sich vernünftigerweise ergebenden Gelegenheit" von Philosophie im Fachunterricht.

Im ersten Teil behandelt Oberschelp die Bedeutung der Anwendungen für die Mathematik. Die Vielfalt und Anzahl anwendungsorientierter Arbeiten läßt sich bereits mit einem Blick auf die großen Referateorgane "Mathematical Reviews" und "Zentralblatt für Mathematik" feststellen. Aber auch ein Blick auf unsere Umwelt genügt, so der Vf., um die heute vielfach vertretene These von einer Rückbesinnung der Mathematik der Mathematik auf die Anwendungen als fragwürdig erscheinen zu lassen. Auch ein sog. Spannungsverhältnis zwischen einem "statischen" (Bourbakismus) und einem "dynamischen" Systemdenken (Algorithmiker) scheint kein prinzipiell unauflösbarer Konflikt zu sein. Eine "klare Schnittlinie" gibt es dagegen für den Vf. zwischen der Mathematik und ihren Anwendungen in den empirischen Wissenschaften. Dennoch darf diese Schnittlinie nicht in der Schul-Mathematik als Grenze des zu vermittelnden Inhalts verstanden werden: Mathematikunterricht ist Unterricht in der Systemwissenschaft Mathematik und Einübung in das Mathematisieren.

Im zweiten Teil wird das Verhältnis von Mathematik und Informatik behandelt. Die nach ihrem Gegenstand und ihren Methoden "heterogene" Wissenschaft der (theoretischen und praktischen) Informatik gehört in den Mathematikunterricht hinein. Ausgenommen sind hier die Methoden des Software-Engineering sowie die Frage der Hardware-Weiterentwicklung. Der Vf. begründet seine These, die im Gegensatz zu den Forderungen eines autonomen Informatikunterrichts steht, indem er auf die Lehrgegenstände der Informatik und auf ihre Methodik eingeht.

Im dritten Teil schließlich geht der Vf. auf das Verhältnis von Mathematik und Informatik zur Philosophie ein. Diese Verbindung sieht er nur unter einer heute nicht realisierten Möglichckeit einer "mathesis universalis" gegeben. Für Oberschelp ist Mathematik eine apriorische Wissenschaft, die sich "mit logischen Beziehungen zwischen Begriffen, die im Prinzip aufa strukturell fundamentale Urbegriffe (z.B. auf mengentheoretische Grundbegriffe) zurückführbar sind", befaßt. Bei einem "weit gespannten Begriff von Mathematik" (S. 246), der also auch die Möglichkeit von nur prinzipiell beweisbaren Sätzen umfaßt, hält der Vf. die Möglichkeit der Behandlung philosophischer Fragestellungen für gegeben. Diese Möglichkeit aber und somit die Diskussion um die Grundlagen der Mathematik (z.B. die zwischen Intuitionisten und Konstruktivisten), möchte er ausklammern und vom Faktum der Mathematik als eine einheitliche Wissenschaft ausgehen. Im Falle der Informatik steht der Vf. der Frage, ob die systematische Reduktion dieses Faches auf wenige apriorische Sätze möglich ist, kritisch gegenüber. Die Begründungsversuche seitens der "dialogischen Logik" (Lorenzen) hält der Vf. weder für die Mathematik noch für die Informatik für relevant. Ein Argument für die Verbindung von Mathematik, Informatik und Philosophie wird im gemeinsamen Bezug auf die Behandlung von Sprachen bzw. von Sprachebenen gesehen. Der Autor legt aber solchen Fragestellungen weniger Bedeutung zu, da sie nur einen eigenen Teil des Philosophie-Unterrichts ausmachen, während die Verbindung zu anderen Fächern und insbesondere zur Sozialwissenschaft als viel gewichtiger eingestuft wird. Fazit: Mathematik- und Informatikunterricht so eng wie möglich institutionell binden, Philosophie, wenn überhaupt als Schulfach, davon trennen bzw. eher philosophische Fragen "bei jeder sich vernünftigerweise ergebenden Gelegenheit" (S. 249) im jeweiligen Fachunterricht der Schule einfließen lassen. Dafür sollten die Fachlehrer die entsprechende philosophische Kompetenz erwerben.

Mit den Schwierigkeiten und Chancen der Integration von Mathematik (einschl. Informatik) und Philosophie in einen gemeinsamen Schwerpunkt der Kollegschule beschäftigt sich M. A. Meyer, wobei er, im Gegensatz zu Oberschelp, das Problem aus der Sicht der Philosophie anstatt aus der Mathematik erörtert. Der Verfasser beginnt mit einer Darstellung der von H. Blankertz und R. Brockmeyer vorgelegten Begründung für die Bildung eines (neben 17 anderen) Schwerpunktbereiches Mathematik (einschl. Informatik-)Philosophie an den seit 1977 eingerichteten Kollegschulen in Nordrhein-Westfalen. Kernpunkt der Begründung ist der Modellcharakter beider Disziplinen, wodurch sie also zwischen Wissensahft und Alltag vermitteln können. Mathematisieren und philosophisches Argumentieren seien zwei für die heutige technische Zivilisation grundlegende und ineinander gehende Methoden. Einige Argumente gegen die Integration von Mathematik und Philosophie in der Sekundarstufe II werden anschließend dargelegt. So z.B., daß von beiden Seiten die jeweilige Nähe als nicht besonders groß angesehen werde, oder daß die Philosophen an der Interpretation ihrer eigenen Fachgeschichte mehr interessiert seien als die Mathematiker an ihrer, oder daß von Mathematikern als "philosophisch" eingestufte Fragen von Philosophen nicht als solche rezipiert werden oder umgekehrt ("interdisziplinäre Interferenz"). Die Zuordnung der Philosophie zu irgendeinem Fach erscheint schließlich als eine unzulässige Einschränkung der Philosophie. Seiner Begründung für eine Integration beider Fächer schickt der Vf. eine kurze Darstellung allgemeiner Lernziele voraus.

Anschließend wird anhand eines Exkurses zu B. Russell und L. Wittgenstein der Übergang von der mathematischen Logik zur Sprachphilosophie verdeutlicht, so daß das Problem der Sprache bzw. der Logik der Sprache als ein erster gemeinsamer Bezugspunkt erscheint. Durch diesen Bezugspunkt unterscheiden sich Mathematik und Philosophie von den anderen Wissenschaften. Ein zweiter Bezugspunkt wird in der auf dem logischen Operieren basierenden Ähnlichkeit des mathematischen und philosophischen Argumentierens gesehen. Mit Hinweis auf Wittgenstein erörtet der Vf. den dritten Bezugspunkt: Philosophie bildet zusammen mit den Wissenschaften und dem Alltag ein Dreiecksverhältnis. Aus dem Zusammenhang mit der Mathematik verspricht sich der Vf. eine verstärkte Stringenz philosophischer Argumentation, ohne daß dabei die Probleme der Alltagswelt zu kurz kommen sollen, bzw. eine kritische Bestimmung der "reinen" mathematischen Tätigkeit. Der Modellbegriff bildet einen gemeinsamen Bezug beider Fächer. Gegenüber der Verbindung von Mathematik und Informatik bzw. Mathematik und Naturwissenschaften einerseits und Philosophie, Sprache und Literatur andererseits, schlägt der Vf. aus den dargelegten Gründen die Schaffung einer gemeinsamen Grundbildung für Mathematik-, Informatik- und Philosophieschüler vor, ohne dabei an ein "neues Superfach" zu denken. Es sollten vielmehr die bestehenden Gemeinsamkeiten in ein gemeinsames Lernprogramm erarbeitet werden.

Zusammenfassend läßt sich also feststellen, daß die wissenschaftstheoretische Reflexion über die Informatik sich in einem weitaus anfänglicheren Stadium befindet als die über Mathematik. In diesem Zusammenhang sei auf die Tagungen und Proceedings des Arbeitskreises Informatik und Philosophie (Universität Dortmund) hingewiesen. Die hier vorgelegten Untersuchungen befürworten einen gemeinsamen curricularen Schwerpunkt Mathematik/Informatik. Die Verbindung beider Fächer mit Philosophie bleibt aber umstritten.


5. Ausblick

Der vorliegende Band schließt mit einem hier im einzelnen nicht zu besprechenden Anhang, wo die auf den Konstruktivismus (Lorenzen) basierenden didaktischen Thesen F. Kambartels kritisch erörtert werden.

Wenn wir die am Anfang dieser Rezension gestellten Fragen wiederholen, dann können wir zunächst feststellen, daß die moderne Wissenschaftstheorie zweifellos eine Bewegung der Erneuerung in der Diskussion über die philosophischen Grundlagen der Mathematik, um ihre "Bestimmung" also, mit sich gebracht hat, und daß diese Bewertung sich didaktisch so auswirkt, daß eine große Nähe zwischen Mathematik und Philosophie im Mathematikunterricht möglich und sogar notwendig erscheint. Die "neue" Bestimmung der Mathematik hängt eng mi der (philosophischen) Frage nach der Sprache zusammen. Wenn im 19. Jh. gewissermaßen eine neue Ära der Beziehungen zwischen Mathematik und Philosophie aufgrund der Einsicht in die enge Verwandschaft von Mathematik und Logik (Boole, Frege, Peirce) eingeleitet wurde, so zeichnet sich jetzt eine breitere Verwandschaft zwischen Mathematik und Sprache ab. Wenn Sprache nicht nur platonisch, im Sinne eines idealen Gebildes, sondern auch aristotelisch als rhetorisch-dialektischer Handlungsprozeß aufgefaßt wird, dann wird klar, warum die Wissenschaftstheorie für die Mathematik nicht nur eine "linguistische", sondern zugleich eine "pragmatische Wende" bedeutet. O. Becker hatte in seinem Buch "Mathematische Existenz" (Tübingen, 1973, 2.Aufl.) auf diesen Gegensatz hingewiesen und beide Ansätze gemeinsam gegen den "Seinssinn des historischen Lebens" abgehoben. Da. wovon etwas abstrahiert wird, muß aber zuvor vorausgesetzt werden. Über diese Voraussetzung selbst, aber auch über ihre Beziehung zur Mathematik, hat Philosophie ein entscheidendes Wort zu sagen. Die philosophische Bestimmung der Informatik ist, wie schon angedeutet, noch eine offene Frage. Sicherlich gehören auch wichtige Gesichtspunkte seitens einer Philosophie der Technik hierher. Der herrschende Mangel an philosophiegeschichtlicher und wissenschaftstheoretischer Reflexion über das Fach Informatik und seine Didaktik ist um so erstaunlicher, wenn man den theoretischen und sozialen Stellenwert dieses Faches bzw. seiner Anwendungen in der modernen Welt bedenkt.

Die curriculare Frage nach dem Verhältnis von Mathematik, Philosophie und Informatik wird zunächst dahingehend beantwortet, daß die Verbindung von Mathematik und Informatik im vorliegenden Buch generell befürwortet wird. Was den Bezug zur Philosophie betrifft, können wir folgendes Fazit ziehen: philosophische Fragen, die die Grundlagen der Mathematik betreffen, können (und sollten) im Mathematikunterricht miteinbezogen werden. Das soll aber weder zu einer philosophischen Aufblähung dieses Faches, noch zu einer Vertuschung der Unterschiede beider Fächer, noch schließlich zu einer einseitigen Betonung der "praktischen" gegenüber der "systematischen" Dimension der Mathematik führen.

Es wäre umgekehrt der Philosophie und ihrer Sache nicht geholfen, wenn sie bereits in der Schule, wennauch nicht mehr als "ancilla theologiae", bloß als "ancilla scientiae" aufgefaßt werden würde. Philosophie sollte primär, wenn man so will, "ancilla vitae", wozu auch sicherlich die Wissenschaften gehören, sein. Der Aufstieg der Wissenschaftstheorie in den letzten Jahren sollte nicht zu einer Überbewertung einer bestimmten philosophischen Disziplin und einer damit verbundenen Art des Argumentierens (bis hin zur curricularen Fusion mit einem entsprechenden Fach) führen.

Mir scheint, daher eine offene Auffassung der Philosophie, wie sie F. Kümmel vorschlägt, ein gangbarer Mittelweg für eine mögliche Zuordnung von Mathematik und Philosophie in einen Schwerpunkt zu sein. "Die Öffnung für die Verwendbarkeit (von Philosophie) in anderen Schwerpunkten" (Kümmel) sollte stets berücksichtigt werden. Dieser Mittelweg schließt nicht aus, daß die methodologischen bzw. fachüberschreitenden Grundfragen in den jeweiligen Fächern vermittelt werden. Dieses  kann unter Umständen eine Notlösung sein, falls keine eigenständigen philosophischen Kurse angeboten werden können. Der allgemeine Tenor dieses Bandes ist, daß auf keinen Fall auf Philosophie bzw. auf fachspezifische philosophische Reflexion in der Schule verzichtet werden sollte. Die Schule des Denkens könnte und sollte mit dem Denken in der Schule anfangen.


Last update: Arpil 29, 2017




     

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